Ir al contenido principal

Integrales Definidas

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

Dada una función f(x) y un intervalo [ a, b ], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.


ejemplo de grafica de integral definida



Propiedades de las integrales definidas:

  • El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=-\int_{b}^{a}f(x)\, dx
  • Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\, dx=0

  • Si c es un punto interior del intervalo \left [ a,b \right ] la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos \left [ a,c \right ] y \left [ c,b \right ].


\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=\int_{a}^{c}f(x)\, dx+\int_{c}^{b}f(x)\, dx

  • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
\displaystyle \int_{a}^{b}k\cdot f(x)=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)\, dx

Regla de Barrow:


La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a,b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\left [G(x) \right ]_{a}^{b}=G(b)-G(a)




Ejemplos:

  • \displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}


\displaystyle \int_{-2}^{-1}\cfrac{dx}{(x-1)^{3}}=\left [ \cfrac{-1}{2(x-1)^{2}} \right ]_{-2}^{-1}=-\cfrac{1}{2}\left [ \cfrac{1}{(-2)^{2}}-\cfrac{1}{(-3)^{2}} \right ]=-\cfrac{5}{72}


  • \displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}
\displaystyle \int_{0}^{3}\cfrac{dx}{\sqrt{1+x}}=\left [ 2\sqrt{1-x}\, \right ]_{0}^{3}=2(2-1)=2


  • \displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx

\displaystyle \int_{0}^{4}x\sqrt{x^{2}+9}\, dx=\cfrac{1}{2}\int_{0}^{4}2x(x^{2}+9)^{\frac{1}{2}}\, dx =\left [ \cfrac{1}{3}(x^{2}+9)^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{4}

=\cfrac{1}{3}\left [ (25)^{\frac{3}{2}}-9^{\frac{3}{2}} \right ]=\cfrac{98}{3}


  • Para una explicación más detallada visita la siguiente página: 


  • Más ejercicios aquí:


Teorema fundamental del cálculo:

\displaystyle \int F'(x)\, dx=f(x)

El teorema fundamental del cálculo, nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

  • Ejercicios resueltos del teorema fuldamental del calculo:


Teorema de la media o del valor medio para integrales:

Si una función es continua en un intervalo cerrado \left [ a,b \right ], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\, dx=(b-a)\cdot f(c)

Representación gráfica del teorema del valor medio


  • Ejercicios resueltos:



Función Integral:
Sea f(t) una función continua en el intervalo \left [ a,b \right ].
A partir de esta función se define función integral:

\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\, dt

Que depende del limite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable f, se llama t, pero si la referencia es a la variable F, se llama x. 

Ejercicios resueltos:











Comentarios

  1. Moisés.M3 de abril de 2020 a las 14:11

    Buen diseño, le da un toque de sencillez. La información es concreta y precisa.

    ResponderEliminar
  2. Tricaro3 de abril de 2020 a las 14:17

    Faltaron ejercicios, del resto todo bien.

    ResponderEliminar
  3. Unknown3 de abril de 2020 a las 15:00

    Bien hecho, la informacion esta bien resumida y clara

    ResponderEliminar
  4. Unknown3 de abril de 2020 a las 15:02

    Buen diseño y buena informacion

    ResponderEliminar
  5. Eddy Martinez3 de abril de 2020 a las 17:18

    Agradable a la vista, además de información sencilla y comprensible
    .

    ResponderEliminar

Publicar un comentario